在探索实变函数的测度理论时，我们首先聚焦于σ环和σ域，这些概念为后续的可列加性理论奠定了基础。让我们逐步深入理解它们的定义和特性。
1.1 环与域的定义：我们定义一个σ环（1）为集合族 ，它满足以下条件：（i）可数集列 的并等于；（ii）对于有限差集，同样成立。这样的集合族被称为σ环。而σ域（2）在此基础上，添加了对任意可数集列的补集封闭性。特别地，空集和全集都包含在σ域中。
1.2 关键定理：环的可列交封闭性 - 环如果满足 ，则它的可列交集仍然是环。证明过程可以通过推广对称差公式来实现。
2.1 环的交运算：任意σ环的交集仍然是一个环。通过证明可列并的封闭性，我们定义了生成环的概念，它由所有σ环的子集族生成。
2.2 生成环的特性：生成环的唯一性体现在，对于任何环 和 ，存在唯一的最小生成环 ，它包含了所有可列子集族的并和差运算结果。
2.3 生成环的内在联系：生成环的本质是所有可列子集族运算的集合。任意可列子集族的并、差结果都在生成环内，反之亦然。
3.1 最小与最大域：最小的σ域包含了所有上半连续域的子域，而最大的σ域则是所有上半连续域的母域，体现了域结构的上下关系。
3.2 Borel域的例子：在实数轴上，Borel域 是所有开集生成的σ代数的集合。证明过程中，我们展示了其与区间表示的等价性，从而揭示了Borel域在实数测度论中的核心地位。
