乍一看，下图的巧妙算法似乎揭示了圆周率等于4的秘密，但这个结论其实谬误重重。本文将深入解析，揭示其中的数学陷阱。
首先，我们来澄清一个常见的误解。确实，圆外多边形在不断弯曲中逐渐逼近圆形，但关键在于它们的特性发生了显著变化：
外接正方形的周长在折叠过程中始终保持为4，无论折成多少阶梯，这个常数并未改变，对应于数列的极限值。
另一方面，正方形与圆的面积对比，开始时两者相差显著，但随着弯曲，这些差距逐渐减小，多边形的面积逐渐趋近圆的面积。然而，周长和面积的逼近并非同步，它们之间并无绝对的对应关系。
以科赫雪花为例，尽管面积无限趋近于某个值，但周长却呈现无限增长，这进一步强调了周长和面积独立的性质。
再看另一个有趣的问题：在圆周上画满相切圆，形成的连续曲线看似逼近圆周，但其周长并非如我们所想，会无限缩小。这是因为曲线的切线特性在微积分中的重要角色，它揭示了曲线长度的近似原理。
在微积分的框架下，切线作为曲线局部特性的体现，其长度才是逼近圆形周长的关键。当我们试图用折线或曲线去近似时，实际上是忽略了这个本质。因为切线与曲线的差距，即高阶无穷小，使得切线成为最精确的逼近手段。
总结来说，「圆周率=4」的误解源于对周长和面积独立性以及切线性质的忽视。理解了这些，我们才能真正领会圆周率的无穷复杂与精确性。深入学习微积分，才能真正领略数学世界的魅力，如马同学图解数学系列所示。
